Una vaca y un caballo echan a andar desde el mismo punto P en direcciones diferentes. Ambos recorren caminos circulares que convergen en el punto P. Si la vaca avanza por un camino A de 48 km. de circunferencia a una velocidad de 8 km. al día, y el caballo un camino B de 32 km. de circunferencia a 12 km. al día, ¿Cuántos días tardarán en encontrarse de nuevo en el punto P?

A ver, que levanten la mano los lectores a quienes frases como esta les provocan un escalofrío. Y es que, para los que somos de letras, como es el caso de quien escribe estas líneas, no es extraño tener pesadillas, aún hoy, con los problemas de cálculo o aritmética que nos enseñaban en el colegio. Pero, como tiene que haber de todo en este mundo, también hay personas que disfrutan jugando con los números. De ahí el tremendo éxito de los sudokus en los últimos años, por ejemplo. Un pasatiempo en forma de tableros aritméticos que fascina a los amantes del cálculo mental y trae de cabeza al resto de los mortales. Aunque este tipo de puzle numérico no es, estrictamente hablando, un invento japonés, han sido los nipones los que le han dado forma definitiva y lo han popularizado en todo el mundo bajo el nombre de sudoku.

Si nos vamos unos siglos atrás, vemos que eso de resolver problemas matemáticos para matar el rato no es nada nuevo. En la tierra del sol naciente, estos pasatiempos tienen una larga tradición que se remonta a la época en la que los samuráis paseaban por las calles con sus katanas al cinto. A mediados del siglo XVIII, entre las tablillas de exvotos que los fieles ofrecían a las puertas de santuarios y templos de todo Japón, era habitual encontrarse también con cosas como el problema que encabeza estas líneas:

¿Cuántos días tardarán la vaca y el caballo en encontrarse tras partir del punto P?

¿Algún valiente se atreve a resolver el enigma? Para los menos duchos en geometría, la solución se puede encontrar al final del artículo.

Podría pensarse que esos problemas se colgaban allí, a la puerta de los templos, para invocar la ayuda divina, pues para resolver semejante galimatías a alguno le iba a hacer falta la ayuda de un par de dioses y algún que otro Buda, como poco. Pero no, no era esa la razón. En realidad, estas tablillas eran un simple pasatiempo. Y, a la vez, un reto para mentes inquietas, esperando a que alguien fuera capaz de dar con la solución. Por eso se dejaban en el lugar más público posible, por donde todo el mundo, noble o plebeyo, pasaba: la puerta de los templos.

Los japoneses de la época tenían un nombre para estos acertijos artiméticos. Los llamaban sangaku, que venía a significar “tablilla matemática”. La palabra hasta recuerda a los modernos sudokus. Estas tablillas sangaku contienen dibujos muy preciosistas para apoyar los enunciados de los problemas, ya que la geometría tradicional japonesa era una mezcla entre arte y matemáticas. Es parte de su encanto; además de servir como gimnasia mental, cumplían una función decorativa. Por desgracia, el hecho de estar hechas en madera ha hecho que pocas de ellas hayan sobrevivido al paso de los siglos. Pero las que han podido conservarse nos dan una buena perspectiva de cómo era esta antigua tradición..

En el Japón de la época, en pleno shogunato Tokugawa, el desarrollo de las matemáticas no era patrimonio exclusivo del mundo académico. Tanto los eruditos como el pueblo llano se dedicaban a cultivarlas con entusiasmo. Así que estas tablillas sangaku eran obra de aficionados a las matemáticas que, de manera totalmente anónima y por puro amor al arte, las dejaban a la entrada de los santuarios. El objetivo era, simplemente, que quien pasara por allí y tuviera un rato libre se entretuviese resolviendo los problemas que planteaban.

Gran parte se basan en el teorema de Pitágoras, que era conocido para los japoneses del medievo gracias a los conocimientos venidos de China siglos atrás. La mayoría de los sangaku se pueden resolver o bien con este teorema, o bien echando mano de ecuaciones cuadradas. Pero, aunque las tablillas te decían la solución al final, por regla general nunca detallaban cómo llegar a esa solución. Eso tenía que discurrirlo cada por su cuenta. Era una especie de reto intelectual, un desafío del anónimo autor para todo el que quisiera aceptarlo.

Se cree que los autores de estas tablillas eran, en su mayoría, gente de casta samurái. En esta época, con la dinastía Tokugawa gobernando el recién unificado Japón, ya no hay guerras civiles en las que luchar, así que los samuráis, la nobleza guerrera, tienen que adaptarse a los nuevos tiempos. Muchos de ellos cambian la espada por el abaco, y se convierten en maestros de escuela que enseñan a los niños de las aldeas a leer, escribir y hacer cuentas. Es así como, aislados del mundo exterior y ajenos al progreso científico europeo, los japoneses empiezan a desarrollar la matemática por su cuenta. Avanzando por caminos distintos a los de los sabios chinos y occidentales para llegar a conclusiones similares. Y estos matemáticos de pueblo, gente sencilla y sin muchos medios, que no tenía acceso al mundo académico ni podía permitirse publicar sus descubrimientos en tratados al uso, recurría a las tablillas sangaku para mostrar al mundo sus progresos.

No se sabe exactamente cuándo empezó esta moda del sangaku, pero la más antigua que se conserva data de 1683, y hay testimonios que mencionan la existencia de estas tablillas desde casi principios del siglo XVII. La tradición perdió fuerza con la caída del shogunato Tokugawa a finales del siglo XIX, pero de un modo u otro ha perdurado hasta casi nuestros días. Las últimas sangaku de las que se tiene noticia datan de la década de 1980.

A los millones de entusiastas del sudoku que hay en el mundo seguramente les gustará saber que su pasatiempo favorito forma parte de una antigua tradición. Porque, como vemos, los japoneses llevan inventando acertijos matemáticos desde hace siglos. Aunque a algunos, que no nos da la cabeza para tanto número, esto del sangaku nos parezca más bien una forma de tortura disfrazada de círculos de colores.

Solución al problema anterior:
Tras un número de días D, vaca y caballo se encuentran de nuevo en el punto P. Si la vaca avanza a 8 km. por día y completa cierto número de vueltas, entonces tenemos que 8D = 48M, donde M esla incógnita a despejar. De igual modo, en el caso del caballo 12D = 32N, donde N es otra incógnita. Dividiendo ambas ecuaciones obtenemos M/N = 4/9 pero, como buscamos el menor valor posible para la incógnita, podemos quedarnos con M = 4 y N = 9. Por tanto, D = 24 días. Pan comido, ¿no?

Colaboración de R. Ibarzabal de Historias de Samuráis

Fuentes: Sacred Mathematics, Fukagawa Hidetoshi y Tony Rothman; Sangakus